Section: New Results

Théorie spectrale max-plus et géométrie métrique/Max-plus spectral theory and metric geometry

Introduction

Participants : Marianne Akian, Stéphane Gaubert, Cormac Walsh.

Étant donné un noyau $a:S\times S\to ℝ\cup \{-\infty \}$, on peut lui associer le problème spectral max-plus

dans lequel on cherche le vecteur propre $u:S\to ℝ\cup \{-\infty \}$ et la valeur propre correspondante $\lambda \in ℝ\cup \{-\infty \}$. Comme nous l'avons rappelé dans les § 3.2 et 3.3 , le problème spectral (9 ) intervient en contrôle ergodique: l'ensemble $S$ est l'espace des états, et l'application $a(x,y)$ fournit le gain associé à la transition $x\to y$. Le cas où $S$ est fini est classique, l'on a alors un résultat précis de représentation de l'espace propre, à l'aide d'un certain graphe, dit graphe critique. Des résultats existent également lorsque $S$ est compact et que le noyau vérifie certaines propriétés de régularité.

Dans  [51] , nous avons considéré le cas où $S$ est non compact. Lorsque $\lambda =0$, l'espace propre est analogue à l'espace des fonctions harmoniques défini en théorie (classique ou probabiliste) du potentiel. En introduisant l'analogue max-plus de la frontière de Martin, nous avons obtenu un analogue de la formule de représentation de Poisson des fonctions harmoniques : toute solution $u$ de (9 ) peut être représentée sous la forme :

où ${ℳ}_m\subset {(ℝ\cup \{-\infty \})}^S$ est l'analogue max-plus de la frontière de Martin minimale (l'ensemble des fonctions harmoniques extrémales normalisées), et où ${\mu }_u$ joue le rôle de la mesure spectrale. Nous avons montré aussi que les éléments de l'espace de Martin minimal peuvent être caractérisés comme les limites de “quasi-géodésiques”. La frontière de Martin max-plus généralise dans une certaine mesure la frontière d'un espace métrique construite à partir des horo-fonctions (fonctions de Busemann généralisées), ou horo-frontière. Ces résultats inspirent les travaux des sections suivantes, qui portent sur des cas remarquables d'espaces métriques (§ 7.1.2 ) ou sur des applications en théorie des jeux (§ 7.2.2 ).

English version

Let the kernel $a:S\times S\to ℝ\cup \{-\infty \}$ be given. One may associate the max-plus spectral equation (9 ), where the eigenvector $u:S\to ℝ\cup \{-\infty \}$ and the eigenvalue $\lambda \in ℝ\cup \{-\infty \}$ are unknown. As we recalled in § 3.2 and refmonotone, this spectral problem arises in ergodic optimal control: the set $S$ is the state space, and the map $a(x,y)$ is the transition reward. The case when $S$ is finite is classical, a precise spectral theorem is known, with a characterisation of the eigenspace in terms of a critical graph. Some results have been shown when $S$ is compact, assuming that the kernel $a$ satisfies some regularity properties.

In  [51] , we considered the case where $S$ is non-compact. When $\lambda =0$, the eigenspace is analoguous to the set of harmonic functions defined in classical or probabilistic potential theory. By introducing a max-plus analogue of the classical Martin boundary, we obtained an analogue of the Poisson representation of harmonic functions, showing that any solution $u$ of (9 ) may be represented as in (10 ) where ${ℳ}_m\subset {(ℝ\cup \{-\infty \})}^S$ is a max-plus analogue of the minimal Martin boundary (the set of normalised extremal harmonic functions), and ${\mu }_u$ plays the role of the spectral measure. We also showed that the elements of the minimal Martin boundary can be characterised as limits of certain “almost-geodesics”. The max-plus Martin boundary generalises to some extent the boundary of metric spaces defined in terms of horofunctions (generalised Busemann functions), or horoboundary. These results have inspired the work of the next sections, which deal either with interesting examples of metric spaces (§ 7.1.2 ) or with applications to zero-sum games (§ 7.2.2 ).

Isométries de la géométrie de Hilbert/Isometries of the Hilbert geometry

Participants : Cormac Walsh, Bas Lemmens [Kent University, UK] .

Dans nos travaux précédents, nous avons étudié la géométrie de Hilbert (d'un ensemble convexe) en dimension finie, en particulier son horo-frontière et son groupe des isométries. Le chapitre de livre  [167] donne une vue d'ensemble de ces travaux. Le cas de la dimension infinie est aussi intéressant, et a été utilisé depuis de nombreuses années en analyse non linéaire. Malgré cela, la géométrie de ces espaces est très peu connue en dimension infinie.

On s'interesse par exemple au problème suivant. En dimension finie, il est connu que la géométrie de Hilbert est isométrique à un espace normé si et seulement si le convexe est un simplexe. On a montré [38] plus généralement que la géométrie de Hilbert est isométrique à un espace de Banach si et seulement si le convexe est le cône des fonctions positives continues sur un espace topologique compact. Pour cela, on a étudié l'horo-frontière en dimension infinie.

On continue à travailler sur ce sujet avec Bas Lemmens de l'Université de Kent.

English version

Previously, we have been studying the Hilbert geometry in finite dimensions, especially its horofunction boundary and isometry group. The book chapter  [167] contains a survey of this work. However, the infinite dimensional case is also interesting, and has been used as a tool for many years in non-linear analysis. Despite this, very little is known about the geometry of these spaces when the dimension is infinite.

An example of a problem in which we are interessed is the following. In finite dimension it is known that a Hilbert geometry is isometric to a normed space if and only if it is a simplex. We have shown [38] that, more generally, a Hilbert geometry is isometric to a Banach space if and only if it is the cross-section of a positive cone, that is, the cone of positive continuous functions on some compact topological space. To solve this problem we found it useful to study the horofunction boundary in the infinite-dimensional case.

We are continuing to study similar problems in relation to this topic in collaboration with Bas Lemmens of the University of Kent.

Croissance des boules dans la géométrie de Hilbert/Volume growth in the Hilbert geometry

Participants : Cormac Walsh, Constantin Vernicos [Université Montpellier 2] .

Avec Constantin Vernicos de l'Université Montpellier 2, nous étudions la croissance du volume de la boule d'une géométrie de Hilbert (d'un ensemble convexe) en fonction du rayon. En particulier, nous étudions l'entropie volumique:

où $B(x,r)$ désigne la boule de centre $x$ et de rayon $r$, et $Vol$ est une notion de volume particulière, telle que celle définie par Holmes–Thompson ou celle de Busemann. L'entropie ne dépend pas du choix particulier de $x$, ni de celui du volume. Il est connu que pour l'espace hyperbolique, ou toute géométrie de Hilbert dont la frontière est $C^2$ et de courbure strictement positive, l'entropie est égale à $n-1$ lorsque la dimension de l'espace est $n$, et il a été prouvé recemment que ceci correspond aussi à l'entropie maximale d'une géométrie de Hilbert en dimension $n$.

Constantin Vernicos a montré que, en dimension 2 et 3, l'entropie volumique d'une géométrie d'Hilbert sur une convexe est égale à l'approximabilité de la convexe, ce qui est le taux de croissance exponentielle du nombre de sommets nécessaire pour approximer la convexe par un polytope à $ϵ$ près, quand $ϵ$ diminue.

Ceci motive l'étude de la croissance du volume dans le cas de polytopes. Dans ce cas, la croissance est polynomiale de degré $n$, plutôt qu'exponentielle, et il est important de comprendre le lien entre le coefficient dominant du polynôme exprimant le volume et la complexité du polytope. Nous avons obtenu une formule pour ce coefficient, laquelle dépend de la structure combinatoire du polytope. Cette formule suggère de définir une nouvelle notion de approximabilité en utilisant une quantité combinatoire different que le nombre de sommets, et d'étudier la relation entre cette approximabilité et l'entropie volumique. On pourrait supposer que les deux quantités sont égales, ce qui impliquerait en particulier que l'entropie volumique d'une convexe est égale à celle de son dual.

English version

In a collaboration with Constantin Vernicos of Université Montpellier 2, we are investigating how the volume of a ball in a Hilbert geometry grows as its radius increases. Specifically, we are studing the volume entropy (11 ) where $B(x,r)$ is the ball with center $x$ and radius $r$, and $Vol$ denotes some notion of volume, for example, the Holmes–Thompson or Busemann definitions. Note that the entropy does not depend on the particular choice of $x$, nor on the choice of the volume. It is known that the hyperbolic space, or indeed any Hilbert geometry with a $C^2$-smooth boundary of stricty positive curvature, has entropy $n-1$, where $n$ is the dimension, and it has recently been proved that this is the maximal entropy possible for Hilbert geometries of the given dimension.

Constantin Vernicos has shown that, in dimension 2 and 3, the volume entropy of a Hilbert geometry on a convex body is equal to the approximability of the body, that is, the exponential rate of growth of the number of vertices needed to approximate the body by a polytope within $ϵ$, as $ϵ$ decreases.

This motivates studying the volume growth in the polytopal case. Here the growth is polynomial rather than exponential, of degree $n$, and it is important to know how the constant on front of the highest term depends on the complexity of the polytope. We have a formula for this constant in terms of the combinatorial structure of the polytope. This formula suggests defining a new notion of approximability using a different combinatorial quantity from the number of vertices, and studying the relationship between this approximability and the volume entropy. One might conjecture that the two quantities are equal, which would imply in particular that the volume entropy of a convex body is equal to that of its dual.

Consensus non-commutatif et contraction d'opérateurs de Kraus/Noncommutative consensus and contraction of Kraus maps

Participants : Stéphane Gaubert, Zheng Qu.

Dans le travail [16] , on s'est intéressé à la vitesse de convergence vers l'équilibre d'une itération de la forme $x^{k+1}=T\left(x^k\right)$, $x^k\in X$, où $T$ est une application linéaire préservant un cône dans un espace de Banach $X$, telle que $T\left(e\right)=e$, pour un certain vecteur $e$ dans l'interieur du cône. On s'intéresse aussi à l'itération dans l'espace dual, $y^{k+1}=T^{*}\left(y^k\right)$, $y^k\in X^{*}$, lorsque $\langle y^0,e\rangle =1$.

Le cas classique est celui où $T\left(x\right)=Px$ est un opérateur de Markov. L'itération primale traduit alors la convergence vers le “consensus”, et l'itération duale traduit la convergence de la distribution de probabilité en temps $k$ vers l'état stationnaire. Dans ce cas, le taux de contraction (en un coup) $\kappa \left(P\right)$ d'une itération primale, pour la semi-norme de Hilbert ${\parallel z\parallel }_H:={max}_i{z}_i-{min}_j{z}_j$, ainsi que le taux de contraction d'une itération duale, pour la métrique en variation totale, coïncident et sont caractérisés par une formule dûe à Doeblin et Dobrushin (coefficient d'ergodicité),

On a donné ici une généralisation de cette formule au cas d'opérateurs abstraits, qui s'applique en particulier aux opérateurs de Kraus qui interviennent en information quantique. Ces derniers opérent sur l'espace des matrices symmétriques, et sont de la forme

Dans  [114] , nous avons étudié des questions de complexité pour les applications de Kraus, montrant en particulier qu'il est NP-dur de vérifier qu'une application de Kraus envoie le cone dans son interieur.

English version

In [16] , we studied the speed of convergence to equilibrium of an iteration of the form $x^{k+1}=T\left(x^k\right)$, $x^k\in X$, where $T$ is a linear map preserving a cone in a Banach space $X$, such that $T\left(e\right)=e$, for some vector $e$ in the interior of the cone. We also considered the iteration in the dual space $X^{*}$, $y^{k+1}=T^{*}\left(y^k\right)$, $y^k\in X^{*}$, where $\langle y^0,e\rangle =1$.

The classical application arises when $T\left(x\right)=Px$ is a Markov operator. Then, the primal iteration represents the dynamics of consensus, whereas the dual iteration represents the evolution of the probability distribution as a function of time. Then, the (one-shot) contraction rate $\kappa \left(P\right)$ of the primal iteration, with respect to Hilbert's seminorm ${\parallel z\parallel }_H:={max}_i{z}_i-{min}_j{z}_j$, and the contraction rate of the dual iteration, with respect to the total variation metric, coincide, and are characterized by a formula of Doeblin and Dobrushin (ergodicity coefficient),

We gave here a generalization of this formula to an abstract operators on a cone. This covers in particular the Kraus maps arising in quantum information theory. The latter maps act on the space of symmetric matrices. They can be written as

In  [114] , we studied complexity issues related to Kraus maps, and showed in particular that checking whether a Kraus map sends the cone to its interior is NP-hard.